二阶齐次微分方程的三个通解公式

第一种：两个不相等的实根：y=C1e^（r1x）+C2e^（r2x）。

第二种：两根相等的实根：y=（C1+C2x）e^（r1x）。

第三种：一对共轭复根：r1=α+iβ，r2=α-iβ：y=e^（αx）*（C1cosβx+C2sinβx）。

拓展：二阶常系数线性微分方程是形如y''+py'+qy=f（x）的微分方程，其中p，q是实常数。自由项f（x）为定义在区间I上的连续函数，即y''+py'+qy=0时，称为二阶常系数齐次线性微分方程。

若函数y1和y2之比为常数，称y1和y2是线性相关的；若函数y1和y2之比不为常数，称y1和y2是线性无关的。特征方程为：λ^2+pλ+q=0，然后根据特征方程根的情况对方程求解。

举一个简单的例子：

y''+3y'+2y=1(1)

其对应的齐次方程的特征方程为：

s^2+3s+2=0(2)

因式分解：(s+1)(s+2)=0(3)

两个根为：s1=-1s2=-2(4)

齐次方程的通解：

y1=ae^(-x)+be^(-2x)(5)

非奇方程(1)的特解：

y*=1/2(6)

于是（1）的通解为：

y=y1+y*=1/2+ae^(-x)+be^(-2x)(7)

其中：a、b由初始条件确定。

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