泊松分布是一个离散型随机变量分布，其分布律是：
P(X=k)=λke−λk!
P(X=k)=λke−λk!
根据离散型随机变量分布的期望定义，泊松分布的期望：
E(X)=∑k=0∞k⋅λke−λk!
E(X)=∑k=0∞k⋅λke−λk!
因为k=0时：
k⋅λke−λk!=0
k⋅λke−λk!=0
所以：
E(X)=∑k=1∞k⋅λke−λk!
E(X)=∑k=1∞k⋅λke−λk!
做一下变换：
E(X)=∑k=1∞k⋅λke−λk!=∑k=1∞λke−λ(k−1)!=∑k=1∞λk−1λe−λ(k−1)!=λe−λ∑k=1∞λk−1(k−1)!
E(X)=∑k=1∞k⋅λke−λk!=∑k=1∞λke−λ(k−1)!=∑k=1∞λk−1λe−λ(k−1)!=λe−λ∑k=1∞λk−1(k−1)!
这里需要用到泰勒展开式，我们知道常用的泰勒展开式中：
ex=1+x+x22!+x33!+...+xnn!+...=∑k=1∞xk−1(k−1)!
ex=1+x+x22!+x33!+...+xnn!+...=∑k=1∞xk−1(k−1)!
因此，泊松分布的期望为:
E(X)=λe−λ∑k=1∞λk−1(k−1)!=λe−λeλ=λ
E(X)=λe−λ∑k=1∞λk−1(k−1)!=λe−λeλ=λ
对于方差D(X)D(X)，先求出E(X2)E(X2):
E(X2)=∑k=0∞k2⋅λke−λk!=λe−λ∑k=1∞kλk−1(k−1)!=λe−λ∑k=1∞(k−1+1)λk−1(k−1)!
E(X2)=∑k=0∞k2⋅λke−λk!=λe−λ∑k=1∞kλk−1(k−1)!=λe−λ∑k=1∞(k−1+1)λk−1(k−1)!
=λe−λ(∑m=0∞m⋅λmm!+∑m=0∞λmm!)(m=k−1)
=λe−λ(∑m=0∞m⋅λmm!+∑m=0∞λmm!)(m=k−1)
=λe−λ(λ⋅∑m=1∞λm−1(m−1)!+∑m=0∞λmm!)
=λe−λ(λ⋅∑m=1∞λm−1(m−1)!+∑m=0∞λmm!)
=λe−λ(λeλ+eλ)=λ(λ+1)
=λe−λ(λeλ+eλ)=λ(λ+1)
所以：
D(X)=E(X2)−(E(X))2=λ(λ+1)−λ2=λ
D(X)=E(X2)−(E(X))2=λ(λ+1)−λ2=λ
因此，泊松分布的期望和方差为：
E(X)=λ
E(X)=λ
D(X)=λ。
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